数学与音乐的关系有多重要?它们共同为人类开启了智慧之门

2020-08-05  来源:百家号

  数学和音乐都是极美的,正如爱因斯坦所说:“这个世界是由音乐的音符组成的,也是由数学公式组成的。音符加数学公式,就是真正完整的世界。”
  自从人类诞生于这颗蔚蓝色的星球,数学与音乐就已经根植于人类的大脑,成为人类认识和探索无穷宇宙的有利武器。在这个世界上,由于人类的语言千奇百怪而难以交流,唯有数学和音乐,无论来自于地球哪个角落的人们,总是可以心领神会。然而,数学与音乐的关系有多重要?它们共同为人类开启了智慧之门。
  在人类文明的进程中,音乐和数学几乎是同时诞生并且相互渗透的。在很早以前,所有的学科被统称为“七艺”。而“七艺”分为“三科”和“四学”。用今天的眼光来看,“三科”中的文法、修辞、辩证法类似于“文科”,而“四学”中的算数、几何、天文、音乐则偏重于“理科”。很明显,在那个遥远的时代,音乐是被当成“理科”来看待的。事实上,早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理论家,都是被当作科学家来看待的。早期的音乐被分为两类,一种是纯粹的音乐理论,另一种则是表演方法,音乐的纯理论方面则几乎与数学重合。
  音乐与数学有着密不可分的关系,比如古希腊的毕达哥拉斯学派时期的“五度相生律”,充分地利用了那个时期所有的数学工具:有理数和分数。在绝大多数情况下,如果两个声音的频率的比接近于简单的整数比1:1和1:2,那么这样的声音便会非常动听。当然,如果只使用以上这两个简单的“比值”,音乐无疑会显得很单调。于是人们又采用了2/3的比例,先取某个长度的琴弦作为基准记作C音,然后剪掉C音的1/3,就得到了G音;然后再延长G音的1/3,就得到了D音;再剪掉D的1/3,就得到了A音;再延长A的1/3,就得到了E音;再剪掉E音的1/3,就得到了B音。
  这样每次剪短都是“纯五度”,而每次延长都是“纯四度”,新生成的5个音,连通最初的C音,相邻两个的频率比例都是9/8,而且B音和下一个C音的频率比例是256/243,相当相邻音的“比值”9/8的一半,但是E和G之间缺一个音,那就给下一个C延长一半, 就得到了F音,而F音与G音的弦长比例也是9/8,与E音的比例也是256/243。
  通过这种构造方法,人们就得到了最初的“七个音阶”,也就是今天我们所见到的钢琴上的白键。后来人们发现这种声音的频率比值的关系不仅可以应用于弦乐器的弦长,还可以应用于管乐器的“气柱”长,所以人们通过“打孔”的方法,制作出了各种丰富多彩的乐器。
  无独有偶,我们的祖先也在很早以前利用这种比值的关系,通过给竹管加上1/3或者减去1/3的方法,这就是我们通常所说的“三分损益法”,由此得到宫、商、角、徵、羽等音。
  我国古代着名的音乐家朱载堉,早在万历十二年就用算盘精确地计算出了2的12次方根的25位小数,推出了全新的“十二平均律”。后经意大利传教士利玛窦介绍给了法国着名的数学家梅森,给欧洲音乐带来了深刻的影响。大音乐家巴赫正是在此影响下,创作出了令人叹为观止的“赋格”与“卡农”。巴赫在他的作品中所使用的各种“复调”手法,比如对主题的“倒影”、“逆行”等技法的应用,本质上都是以“数学逻辑”为基础推导出来的。因而爱因斯坦评价巴赫的音乐具有一种数学上的美感。比如最为着名的“螃蟹卡农”,当我们将谱子倒过来演奏时,发现它依然不失为一首美妙的曲子,这不得不令人拍案叫绝。
  巴赫之所以能够在音乐上取得如此伟大的成就,完全得益于巴赫在业余时间喜欢研读莱布尼茨的数学着作而被莱布尼茨的数学思想所深刻地影响。
  在人类文明的进程当中,受音乐和数学同时深刻影响的伟大学者数不胜数。在1739年,欧拉写下了《音乐新理论的尝试》,他试图把数学和音乐结合起来,有人称该书是一部专门为“精通数学的音乐家”和“精通音乐的数学家”而写的着作。
  在19世纪,数学家傅里叶证明了任何“周期函数”都可以写成“正弦函数”的“和”,当人们发现声波正是一种“周期函数”之后,将声音的“音量”、“音调”、“音色”分别对应“正弦函数”的“振幅”、“频率”和分解得到的“正弦函数序列”。后来人们发现,人类的耳朵具有非常奇妙的功能:他自带“傅里叶变换功能”,能够将声波所构成的“周期函数”经过“傅里叶变换”后转化成生物电信号传递给大脑,给人带来愉悦地享受。
  根据这个原理,人们就可以利用“傅里叶变换”调制出一些声音来欺骗耳朵,事实上我们今天在网络上听到的各种乐器的声音,大部分都是用“数学理论”和“算法”调制出来的,有的音色甚至达到了以假乱真的效果。
  数学在音乐中的应用可谓数不胜数,比如将音乐高潮放在“黄金分割点”上,比如对1、3、5(do、mi、sol)进行全排列,可以得到所有“原位”和“转位和弦”的“上行”和“下行”,这样的例子不胜枚举。总而言之,音乐与数学的关系正如莱布尼茨的名言所说:“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”
  在今天,数学与音乐的关系变得越来越紧密,人们也越来越重视左脑与右脑的开发,越来越重视人的艺术与科学素养的全面发展。比如今年文科数学的高考题“钢琴键盘”给人耳目一新的感觉,该题的精彩之处在于,如果你对数学很精通,你就可以用数学的方法去解答。如果你对音乐很了解,那你也可以用音乐的方法去解答。这似乎正好符合了爱因斯坦的这句话:“这个世界是由音乐的音符组成的,也是由数学公式组成的。”人们可以选择自己最擅长的数学或音乐的方法去认识和探究未知的世界。


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